MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [525]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

Onda piloto, na física teórica, é um conceito na teoria de variável oculta que explica que o estado de um sistema físico, tal como formulado pela mecânica quântica, não dá uma descrição completa para o sistema; ou seja, que a mecânica quântica é, em última análise, incompleta e que uma teoria completa daria categorias descritivas para explicar todo o comportamento observável e, assim, evitar qualquer indeterminismo.^[1] Segundo a teoria da onda piloto, as partículas têm trajetórias definidas, mas por causa da influência da onda piloto, elas ainda apresentam estatísticas em forma de onda.^[2] Esse conceito foi apresentado por Louis de Broglie em 1927,^[3] também é chamado como mecânica bohmiana e foi o primeiro exemplo conhecido de uma teoria de variáveis ocultas. Sua versão mais moderna, a teoria de de Broglie-Bohm, interpreta a mecânica quântica como uma teoria determinística, evitando noções problemáticas como dualidade onda-partícula, colapso da função de onda instantâneo e o paradoxo do gato de Schrödinger. Para resolver esses problemas, a teoria é inerentemente não local.

A teoria das ondas piloto de Broglie-Bohm é uma das várias interpretações da mecânica quântica (não-relativística). Uma extensão ao caso relativista foi desenvolvida desde os anos 90.^[4]^[5]^[6]^[7]

A teoria da onda piloto

Princípios

(a) Um caminhante em um curral circular. Trajetórias de comprimento crescente são codificadas por cores de acordo com a velocidade local da gotícula (b) A distribuição de probabilidade da posição da gota ambulante corresponde aproximadamente à amplitude do modo de onda Faraday do curral.^[8]

A teoria traz à luz a não localidade que está implícita na formulação não relativista da mecânica quântica e a utiliza para satisfazer o teorema de Bell. Pode-se mostrar que esses efeitos não locais são compatíveis com o teorema da não comunicação, que impede o uso deles para uma comunicação mais rápida que a luz e, portanto, é empiricamente compatível com a relatividade.

a teoria tem realismo (significando que seus conceitos existem independentemente do observador);
a teoria tem determinismo.

As posições das partículas são consideradas as variáveis ocultas. O observador não apenas não conhece o valor exato dessas variáveis do sistema quântico considerado e não pode conhecê-las precisamente porque qualquer medição as perturba. Por outro lado, algo (o observador) é definido não pela função de onda dos átomos, mas pelas posições dos átomos. Portanto, o que se vê ao seu redor também são as posições das coisas próximas, não suas funções de onda.

Uma coleção de partículas tem uma onda de matéria associada, que evolui de acordo com a equação de Schrödinger. Cada partícula segue uma trajetória determinística, que é guiada pela função de onda; coletivamente, a densidade das partículas está de acordo com a magnitude da função de onda. A função de onda não é influenciada pela partícula e pode existir também como uma função de onda vazia.^[9]

De acordo com a teoria das ondas piloto, a partícula pontual e a onda de matéria são entidades físicas reais e distintas (ao contrário da mecânica quântica padrão, onde partículas e ondas são consideradas as mesmas entidades, conectadas pela dualidade onda-partícula). A onda piloto guia o movimento das partículas pontuais, conforme descrito pela equação de orientação.

Base matemática

Para derivar a onda piloto de Broglie-Bohm para um elétron, o procedimento quântico de Lagrange

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

onde $�$ é o potencial quântico relacionado com a força quântica e pode ser expresso por:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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$Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}.$

Esse potencial é integrado precisamente ao longo do caminho (aquele que o elétron realmente segue). Isto conduz à seguinte fórmula para o propagador de Bohm:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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$K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].$

Este propagador permite controlar o elétron precisamente ao longo do tempo sob a influência do potencial quântico.^[10]

Uma segunda maneira de encontrar a onda de matéria de de Broglie para uma única partícula é dada pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad .

Se expressarmos a função de onda em coordenadas polares, conforme a proposta de Erwin Madelung, temos:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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$\psi ={\sqrt {\rho }}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right),$

onde $\rho$ é a densidade de probabilidade e S é a fase da onda piloto. A velocidade de Bohm pode ser encontrada substituindo a função de onda na equação de Schrödinger e obtendo a equação de continuidade: ^[11]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0\;,

onde $�$ é a velocidade de Bohm definida por:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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{\vec {v}}({\vec {r}},t)={\frac {\nabla S({\vec {r}},t)}{m}}\;.

A interpretação de Bohm assume que a partícula é guiada pela onda piloto e sua trajetória pode ser encontrada integrando a velocidade de Bohm. Em 2011, o cientista Aephraim Steinberg utilizou o experimento de fenda dupla para realizar uma medida fraca simultaneamente da posição e do momento de um fóton,^[12] obtendo pela primeira vez uma prova experimental das trajetórias de Bohm.

O potencial quântico descrito anteriormente pode ser facilmente obtido pela equação de Hamilton-Jacobi:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\;,

Se igualarmos o potencial quântico a zero, a equação acima reduz-se ao caso de uma partícula clássica.

Função de onda vazia

Lucien Hardy^[13] e John Stewart Bell^[14] enfatizaram que no quadro de Broglie–Bohm da mecânica quântica podem existir ondas vazias, representadas por funções de onda que se propagam no espaço e no tempo, mas não carregando energia ou momento^[15] e não associadas a uma partícula. O mesmo conceito foi chamado de ondas fantasmas (ou "Gespensterfelder", campos fantasmas) por Albert Einstein.^[15] A noção de função de onda vazia foi discutida controversa.^[16]^[17]^[18] Em contraste, a interpretação de muitos mundos da mecânica quântica não exige funções de onda vazia.^[14]

Em mecânica quântica, uma onda de matéria ou onda de De Broglie é a onda (dualidade onda-partícula) de matéria. As relações de De Broglie mostram que o comprimento de onda é inversamente proporcional ao momento linear da partícula e que a frequência é diretamente proporcional à energia cinética da partícula. O comprimento de onda de matéria é também chamado comprimento de onda de De Broglie.

Em 1924, em sua tese de doutorado, o físico francês, Louis de Broglie (1892-1987), formulou uma hipótese na qual afirmava que^[1]:

Toda a matéria apresenta características tanto ondulatórias como corpusculares comportando-se de um ou outro modo dependendo do experimento específico.

Para postular esta propriedade da matéria, De Broglie se baseou na explicação do efeito fotoelétrico, que pouco antes havia sido apresentada por Albert Einstein sugerindo a natureza corpuscular da luz. Para Einstein, a energia transportada pelas ondas luminosas estava quantizada, distribuída em pequenos pacotes de energia ou quanta de luz, que mais tarde seriam denominados fótons, e cuja energia dependia da frequência da luz através da relação $E=h\nu \;$ , onde $\nu \;$ é a frequência da onda luminosa e $h\ \;$ a constante de Planck. Albert Einstein propunha desta forma que, em determinados processos, as ondas eletromagnéticas se comportam como corpúsculos. De Broglie se perguntou se tal não poderia se dar de maneira inversa, ou seja, que uma partícula material (um corpúsculo) pudesse mostrar o mesmo comportamento que uma onda.

O físico francês relacionou o comprimento de onda, λ (lambda) com a quantidade de movimento da partícula, mediante a fórmula:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\lambda ={\frac {h}{mv}}

onde λ é o comprimento da onda associada à partícula de massa m que se move a uma velocidade v, e h é a constante de Planck. O produto $mv\ \;$ é também o módulo do vetor ${\vec {p}}$ , ou quantidade de momento da partícula. Olhando a equação, percebe-se que à medida que a massa do corpo ou sua velocidade aumenta, seu comprimento de onda diminui.

Esta hipótese se confirmou três anos depois para os elétrons, com a observação dos resultados do experimento da dupla fenda de Young na difração de elétrons em duas investigações independentes. Na Universidade de Aberdeen, George Paget Thomson passou um feixe de elétrons através de uma placa de metal delgada e observou os diferentes esquemas preditos. Nos Laboratórios Bell, Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram seu feixe através de uma rede cristalina.

A equação de De Broglie pode ser aplicada a toda a matéria. Os corpos macroscópicos também têm uma onda associada mas, dado que sua massa é muito grande, o comprimento de onda resulta tão pequeno ao ponto de ser impossível perceber suas características ondulatórias.

De Broglie recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1929 por esse trabalho, o que o fez ser a primeira pessoa a receber um Prêmio Nobel sobre uma tese de doutorado. Thomson e Davisson compartilharam o Nobel de 1937 por seu trabalho experimental.

Contexto histórico

Após avanços feitos por Max Planck (1858–1947) e Albert Einstein (1879–1955) na compreensão do comportamento dos elétrons e o que seria conhecido como física quântica, Niels Bohr (1885–1962) começou (entre outras coisas) tentando explicar como os elétrons se comportam. Ele veio com novas ideias fundamentais sobre os elétrons e matematicamente derivada da equação de Rydberg, uma equação que só foi descoberta por tentativa e erro. Essa equação explica as energias da luz emitida quando gás hidrogênio é comprimido e eletrificado (similarmente aos sinais de neônio, as lâmpadas de neon, mas com hidrogênio neste caso). Infelizmente, este modelo somente funcionava para a configuração do átomo de hidrogênio, mas suas ideias eram tão revolucionárias que romperiam com a clássica visão do comportamento dos elétrons e pavimentou o caminho para novas ideias no que se tornaria a física quântica e a mecânica quântica.

Louis de Broglie (1892–1987) tentou expandir as ideias de Bohr, expandindo sua aplicação para além do hidrogênio. Na verdade, ele procurou uma equação que pudesse explicar as características do comprimento de onda de toda a matéria. Esta equação foi experimentalmente confirmada em 1927 quando os físicos Lester Germer e Clinton Davisson dispararam elétrons em um alvo cristalino de níquel e o padrão de difração resultante obtido concordava com os valores previstos.^[2] Na equação de Broglie o comprimento de onda de um elétron é uma função da constante de Planck (6.626×10⁻³⁴ joule-segundos) dividido pelo momento (não relativisticamente, sua massa multiplicada pela sua velocidade). Quando seu momento é muito grande (relativamente à constante de Planck), então o comprimento de onda de um objeto é muito pequeno. Isto no caso de objetos com energias triviais, tais como uma pessoa; dado o enorme momento de uma pessoa comparado com a muito pequena constante de Planck, o comprimento de onda de uma pessoa seria muito pequeno (na ordem de 10⁻³⁵ nanômetros ou menor) a ponto de ser indetectável por qualquer ferramenta de medida. Por outro lado, partículas muitas pequenas (como os elétrons em materiais típicos diariamente) têm um momento muito baixo comparado com os objetos macroscópicos. Neste caso, o comprimento de onda de Broglie pode ser grande o suficiente para que a natureza ondulatória da partícula resulte em efeitos observáveis.

O comportamento como ondas de partículas de momentos pequenos é análogo àquele da luz. Como um exemplo, microscópios eletrônicos usam elétrons, ao invés de luz, para observar objetos muito pequenos. Dado que elétrons tipicamente tem mais momento do que fótons, seu comprimento de onda de Broglie irá ser menor, resultando em melhor resolução espacial.

As relações de De Broglie

Mecânica quântica

As equações de Broglie relacionam o comprimento de onda $~\lambda ~$ ao momento linear $�$ , e a frequência $�$ à energia total $�$ , (incluindo sua energia de repouso, respectivamente, de uma partícula):^[3]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\lambda ={\frac {h}{p}}

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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f={\frac {E}{h}}

onde $ℎ$ é a constante de Planck. As duas equações são também escritas como:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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p=\hbar k

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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E=\hbar \omega

Utilizando as definições...

$~\hbar =h/(2\pi )~$ é a constante de Planck reduzida (também conhecida como constante de Dirac, pronunciada "h-barra" ou "h cortado"),
$�$ é o número de onda angular, e
$~\omega ~$ é a frequência angular.

Em cada par, o segundo é também referido como a relação de Planck-Einstein, dado que ela também foi proposta por Planck e Einstein.

Usando resultados da relatividade especial, as equações podem ser escritas como:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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\lambda ={\frac {h}{\gamma m_{0}v}}={\frac {h}{m_{0}v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

//////

f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\cdot {\frac {m_{0}c^{2}}{h}}

Onde $~m_{0}~$ é a massa em repouso da partícula, $�$ é a velocidade da partícula, $~\gamma ~$ é o fator de Lorentz e $�$ é a velocidade da luz no vácuo.

Relatividade especial

Usando a fórmula do momento relativístivo da relatividade especial,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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p=\gamma m_{0}v

seguem as equações a ser escritas como^[4]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$1 /$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $P^{\mu }\!$ /

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}&\lambda ={\frac {h}{\gamma m_{0}v}}={\frac {h}{m_{0}v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{aligned}}

onde m₀ é a massa de repouso da partícula, v é a velocidade da partícula, γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no vácuo.

A velocidade de grupo (igual à velocidade da partícula) não deve ser confundida com velocidade de fase (igual ao produto da frequência da partícula e seu comprimento de onda). No caso de um meio não dispersivo, acontecem de serem iguais, mas em outras formas acabam por ser diferentes.

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